Cálculo II Mariano Soler Dorda

PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¶ . . . . . . . 7
1. INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 9 ¶
1.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. Aplicaciones de las integrales dobles y triples . . . . . . . . . . 32
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. INTEGRAL DE L¶INEA Y DE SUPERFICIE . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Integral de l¶³nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Super¯cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4. Integral de super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5. Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5
6 Calculo II ¶
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2. Familias de curvas. Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . 98
3.3. Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante . . . 100
3.4. Ecuaciones lineales de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5. Cambios de variable cl¶asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6. Teoremas de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4. EDO LINEALES DE ORDEN n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1. Estructura del espacio de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2. EDO de orden n con coe¯cientes constantes . . . . . . . . . . 122
4.3. Movimiento vibratorio arm¶onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4. Coe¯cientes variables. Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . 138
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5. SEDO LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES . 145
5.1. Sistemas lineales con coe¯cientes constantes . . . . . . . . . . 147
5.2. Sistemas no lineales. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1. La transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2. La funci¶on escal¶on unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.3. La ± de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189